Каква е силата на числото

• Причини

Моля, имайте предвид, че този раздел се занимава с понятието степен само с естествен индикатор и нула.

Понятието и свойствата на градусите с рационални експонати (с отрицателни и дробни) ще бъдат обсъдени в уроците за 8 клас.

Така че, нека разберем каква е силата на числото. За да запишете самото произведение на самото число върху себе си, няколко пъти използвайте съкратената нотация.

Вместо произведението от шест идентични фактора 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4, те пишат 4 6 и казват „четири до шеста степен”.

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6

Изразът 4 6 се нарича сила на числото, където:

• 4 - основата на степента;
• 6 - показател.

По принцип степента с базата "а" и индексът "n" се изписва с помощта на израза:

Степента на числото „а“ с естествения индекс „n“, по-голяма от 1, е произведението на „n“ равни фактори, всеки от които е равен на числото „а“.

Означението "а n" се чете по следния начин: "но на силата на n" или "n-тата сила на числото а".

Изключенията са записи:

• a 2 - може да се произнесе като "квадрат";
• a 3 - може да се произнесе като „но в куб“.

Разбира се, изразите по-горе могат да бъдат прочетени, за да се определи степента:

• a 2 - “и във втора степен”;
• a 3 - "и в третата степен".

Специални случаи се случват, когато показателят е един или нула (n = 1; n = 0).

Степента на числото "а" с индекса n = 1 е самото число:
a 1 = a

Всяко число в нулевата степен е едно.
a 0 = 1

Нула във всяка естествена степен е нула.
0 n = 0

Единицата до всяка степен е равна на 1.
1 n = 1

Изразът 0 0 (нула до нула) се счита за безсмислен.

Когато се решават примери, трябва да се помни, че издигането до сила се нарича намиране на цифрова или буквена стойност, след като тя се издигне до сила.

Пример. Повишаване до степен.

• 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
• 2.5 2 = 2.5 · 2.5 = 6.25
• (

Повишаване на отрицателно число

Основата на степента (число, което се издига до сила) може да бъде произволно число - положително, отрицателно или нулево.

При повишаване до степен на положително число се получава положително число.

При конструиране на нулева естествена степен се получава нула.

Когато повишавате отрицателно число на мощност, резултатът може да бъде или положително число или отрицателно число. Зависи от това, дали експонентата е нечетен или нечетен.

Обмислете примери за повишаване до отрицателни числа.

От разгледаните примери е ясно, че ако отрицателно число се повиши до нечетна степен, тогава се получава отрицателно число. Тъй като произведението на нечетен брой отрицателни фактори е отрицателно.

Ако отрицателно число се повиши до равна мощност, тогава се получава положително число. Тъй като продуктът от четен брой отрицателни фактори е положителен.

Отрицателно число, увеличено до равна мощност, е положително число.

Отрицателно число, повдигнато до нечетна мощност, е отрицателно число.

Квадратът на произволно число е положително число или нула, т.е.

a 2> 0 за всеки a.

• 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
• −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

Обърнете внимание!

Когато решават примери за експоненциране, те често правят грешки, забравяйки, че вписванията (−5) 4 и −5 4 са различни изрази. Резултатите от експоненцирането на тези изрази ще бъдат различни.

За да се изчисли (−5) 4 означава да се намери стойността на четвъртата сила на отрицателното число.

Докато намирането на "-5 4" означава, че примерът трябва да бъде решен в 2 стъпки:

1. Повдигнете до четвъртата власт положително число 5.
   5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
2. Поставете знак минус пред резултата (т.е. изпълнете действието за изваждане).
   −5 4 = −625

Пример. Изчислете: −6 2 - (−1) 4

1. 6 2 = 6,6 = 36
2. −6 2 = −36
3. (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
4. - (- 1) 4 = −1
5. −36 - 1 = −37

Процедурата в примерите със степени

Изчисляването на стойността се нарича действие за експониране. Това е действието на третата стъпка.

В изрази с правомощия, които не съдържат скоби, те първо изпълняват мощност, след това се умножават и делят, а накрая добавят и изваждат.

Ако в израза има скоби, първо първо в горния ред изпълнете действията в скоби, а след това останалите действия в същия ред отляво надясно.

За да се улесни решаването на примери, полезно е да се знае и да се използва таблицата на степента, която можете да изтеглите безплатно на нашия уебсайт.

За да проверите резултатите си, можете да използвате онлайн калкулатора за повишаване на степента на нашия уебсайт.

Степен на число: определения, обозначения, примери.

В тази статия ще разберем каква е степента на числото. Тук ще дадем дефиниции на степента на число, с подробен поглед върху всички възможни показатели за степента, започвайки с естествения индикатор и завършвайки с ирационалното. В материала ще намерите много примери за степени, покриващи всички тънкости, които възникват.

Придвижете се по страницата.

Степен с естествен индикатор, квадратен номер, куб номер

Да започнем с дефиниция на степента на число с естествен индекс. С поглед напред, ние казваме, че дефиницията на степента на a с естествен индекс n се дава за реално число a, което ще наричаме базата на степента, и естествено число n, което ще наричаме експонентата. Отбелязваме също, че степента с естествения индекс се определя чрез продукта, така че за да се разбере материалът по-долу, трябва да имате представа за умножението на числата.

Степента на a с естествен индекс n е израз на формата a n, чиято стойност е равна на произведението на n фактори, всеки от които е равен на a, т.е.
По-специално, степента на a с индекс 1 е самата цифра a, т.е. a 1 = a.

От това определение е ясно, че с помощта на степен с естествен индекс може да се запишат произведенията на няколко идентични фактора. Например 8 8 8 8 може да бъде записано като степен 8 4. Това е аналогично на начина, по който се записва сумата от еднакви термини, използвайки произведение, например 8 + 8 + 8 + 8 = 8,4 (виж общата идея на статията за умножението на естествените числа).

Веднага трябва да се каже за правилата за степен на четене. Универсалният начин за четене на n запис е: “а на силата на п”. В някои случаи такива варианти са допустими: „а до n-та степен“ и „n-тата сила на числото а“. Например, вземете степен 8 12, това е “осем до силата на дванадесет”, или “осем до дванадесетата сила”, или “дванадесетата сила от осем”.

Втората степен на броя, както и третата степен на числото имат свои собствени имена. Втората сила на числото се нарича квадрат на числото, например 7 2 се чете като „седем квадрат“ или „квадрат на числото седем“. Третата сила на числото се нарича куб от число, например 5 3 може да се чете като „пет в куб“ или да се каже „куб от число 5“.

Време е да се дадат примери за степени с естествени показатели. Да започнем със степен 5 7, тук 5 е основата на степента, а 7 е експонентата. Да дадем още един пример: десетичната част от 4.32 е базата, а положителното цяло число 9 е степен (9).

Забележете, че в последния пример основата на степен 4.32 е написана в скоби: за да се избегнат несъответствия, ще вземем всички бази на степента в скоби, които са различни от естествените числа. Като пример, ние даваме следните степени с естествени показатели, техните бази не са естествени числа, така че те са написани в скоби. Е, за пълна яснота в този момент ние показваме разликата, съдържаща се в записите на формата (−2) 3 и −2 3. Изразът (−2) 3 е степента на отрицателното число −2 с естествения индекс 3, а изразът −2 3 (тя може да бъде записана като - (2 3)) съответства на числото, противоположно на стойността на степента 2 3.

Отбележете, че има нотация за степента на a с индекс n на формата a ^ n. Освен това, ако п е многозначно положително цяло число, тогава експонентът се взема в скоби. Например, 4 ^ 9 е друг запис на степен 4 9. Ето още няколко примера за записване на градуси, използвайки символа "^": 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). По-долу ще използваме предимно нотацията за степента на формата a n.

Горната дефиниция позволява да се намери стойността на степента с естествен индикатор. За да направите това, изчислете произведението на n равни фактори, равни на a. Тази тема заслужава подробно разглеждане в отделна статия - виж обозначаването с естествен индикатор.

Една от задачите, обратната на конструкцията с естествен индикатор, е проблемът за намиране на основата на степен чрез известна стойност на степен и известен показател. Тази задача води до концепцията за корен от число.

Струва си да се проучат свойствата на градус с естествен индекс, който следва от това определение на степента и свойствата на умножението.

Степен с цяло число

След като сме определили степента на a с естествен индекс, възниква логическо желание да се разшири понятието степен и да се премине към степента на число, от което всяко число, включително отрицателно и нулево, ще бъде индикатор. Това трябва да се направи по такъв начин, че всички свойства на степен с естествен индекс да останат валидни, тъй като естествените числа са част от числа.

Степента на a с положително цяло число не е нищо повече от силата на a с естествен показател :, където n е положително цяло число.

Сега ще дефинираме нулевата сила на a. Нека пристъпим от свойствата на частичните сили със същите бази: за естествените числа m и n, m m: a n = a m - n (условието a is 0 е необходимо, защото в противен случай бихме имали деление на нула). За m = n писменото равенство води до следния резултат: a n: a n = a n - n = a 0. Но от друга страна, a n: a n = 1 като коефициент на равни числа a n и n. Затова трябва да приемем 0 = 1 за всяко ненулево реално число a.

Но какво да кажем за нула до нула? Подходът, използван в предходния параграф, не е подходящ за този случай. Можем да си припомним свойствата на произведението на градуси със същите бази a m · a n = a m + n, по-специално, когато n = 0, имаме m · a 0 = a m (това равенство показва също, че a 0 = 1). Въпреки това, за a = 0 получаваме равенството 0 m · 0 0 = 0 m, което може да бъде пренаписано като 0 = 0, вярно за всяко естествено m, независимо от това, което е стойността на израза 0 0. С други думи, 0 0 може да бъде равен на произволен брой. За да избегнем тази двусмисленост, няма да присвоим нула на силата на нула с какъвто и да е смисъл (поради същите причини, когато изучаваме разделението, не даваме смисъл на израза 0: 0).

Лесно е да се провери, че нашето равенство a 0 = 1 за ненулеви числа a е в съответствие с свойството на степен до степен (a m) n = a m · n. Наистина, за n = 0 имаме (a m) 0 = 1 и m · 0 = a 0 = 1, а за m = 0 имаме (a 0) n = 1 n = 1 и a 0 · n = a 0 = 1.

Така стигнахме до дефинирането на степен с нулев показател. Степента на a с нулева степен (ненулева реално число) е една, т.е. a 0 = 1 за a. 0.

Да дадем примери: 5 0 = 1, (33.3) 0 = 1, и 0 0 не е дефиниран.

Определя се нулевата степен на число а, остава да се определи целочислената отрицателна степен на число а. Това ще ни помогне да имаме едно и също свойство на произведението на градуси с едни и същи бази a m · a n = a m + n. Ние приемаме m = −n, което изисква условие a, 0, след това a − n · a n = a −n + n = a 0 = 1, откъдето заключаваме, че a n и a − n са взаимно обратни числа. По този начин е логично да се дефинира числото а до цяло число отрицателна степен −n като дроб. Лесно е да се провери, че с такава задача степента на ненулево число а с цяло число отрицателен експонат всички свойства на градус с естествен експонат (виж свойствата на експонента с целочислена степенна) са верни, за което се стремим.

Нека звучи дефиницията на степен с цял отрицателен индекс. Степента на a с отрицателно цяло число -n (ненулево реално число) е дроб, т.е. с a and 0 и положително цяло число n.

Разгледайте тази дефиниция на градус с отрицателно число на конкретни примери.

Обобщете информацията за този елемент.

Степента на a с цяло число z се дефинира като:

Степен с рационален индикатор

От целочислени експонати на числото a се предполага преход към рационален индикатор. По-долу дефинираме степен с рационален индикатор и ще го правим по такъв начин, че да се запазят всички свойства на степента с целия показател. Това е необходимо, защото цели числа са част от рационални числа.

Известно е, че множеството от рационални числа се състои от цели числа и дробни числа, като всяко дробно число може да бъде представено като положителна или отрицателна обикновена фракция. Ние дефинирахме степента с целочислен експонат в предишния абзац, затова, за да завършим дефиницията на експонента с рационална степен, трябва да дадем смисъл на степента на a с дробна степен m / n, където m е цяло число, а n е естествено. Нека го направим.

Помислете за степен с частичен показател. За да може да се притежава степен на собственост, трябва да се изпълни равенството. Ако вземем предвид полученото равенство и как определяме корена на n-та степен, то тогава е логично да приемем, при условие че за дадено m, n и a, изразът има смисъл.

Лесно е да се провери дали всички свойства на градус с целочислен индикатор са валидни (това се прави в раздела за свойствата на степен с рационален индикатор).

Горното разсъждение ни позволява да направим следното заключение: ако за дадено m, n и a изразът има смисъл, тогава степента на a с фракционен индекс m / n е коренът на n-та степен от a до степен m.

Това твърдение ни доближава до дефиницията на степен с фракционен показател. Остава само да се напише, за което m, n и a има смисъл. В зависимост от ограниченията, наложени на m, n и a, има два основни подхода.

Най-лесно е да се наложи ограничение на a, като се приеме ≥0 за положителни m и a> 0 за отрицателни m (тъй като за m≤0 степента 0 m не е определена). Тогава получаваме следната дефиниция на градус с фракционен показател.

Степента на положително число а с частичен индекс m / n, където m е цяло число и п е положително цяло число, се нарича n-ти корен на а към силата на m, т.е.

Фракционната степен на нула също се определя с единствената резерва, че индикаторът трябва да бъде положителен.

Степента на нула с частичен положителен индекс m / n, където m е положително цяло число, а п е положително цяло число, се определя като.
Когато степента не е определена, това означава, че степента на числото нула с частичен отрицателен индикатор няма смисъл.

Трябва да се отбележи, че при такава дефиниция на градус с дробна степенност има един нюанс: за някои отрицателни a и някои m и n изразът има смисъл и ние сме отхвърлили тези случаи, като въведем условието a≥0. Например, има смисъл да се напише или, и дефиницията, дадена по-горе, ни кара да кажем, че градусите с фракционен индекс на даден вид нямат смисъл, тъй като основата не трябва да бъде отрицателна.

Друг подход за определяне на степен с дробно m / n е да се разгледат отделните коренни и нечетни индекси. Този подход изисква допълнително условие: степента на числото а, чийто индикатор е намалена фракция, се счита за степента на числото а, чийто индикатор е съответната невъзстановима част (ще обясним значението на това условие по-долу). Това означава, че ако m / n е неприводима част, тогава за всяко естествено число k, степента се заменя с.

За дори n и положителни m, изразът има смисъл за всяко неотрицателно a (дори коренът на отрицателно число няма смисъл), за отрицателни m, числото a трябва също да бъде не-нула (в противен случай да се раздели на нула). За нечетно n и положително m числото a може да бъде всяко (коренът на нечетната степен се определя за всяко реално число), а за отрицателни m, числото a трябва да бъде ненулева (така че няма деление с нула).

Горните разсъждения ни водят до такава дефиниция на степен с фракционен показател.

Нека m / n да бъде неприводима част, m да е цяло число, а n да е положително цяло число. За всяка редуцируема фракция степента се заменя с. За степента на a с невъзпроизводима дробна степен m / n

• всяко реално число а, положително цяло число m и нечетно положително число n, например;
• всяко ненулево реално число а, цяло отрицателно m и нечетно п, например;
• всяко неотрицателно число а, цяло число положително m и дори п, например;
• всеки положителен а, цяло число отрицателно m и дори п, например;
• в други случаи степента с частичен показател не е дефинирана, например градусите не са дефинирани.

Нека обясним защо степен с преграждаема дробна степен е предварително заменена с степен с невъзпроизводима степен. Ако просто дефинираме степента, както и не направихме резервация за несъвместимостта на фракцията м / п, тогава ще се сблъскаме със ситуации като следното: тъй като 6/10 = 3/5, тогава равенството трябва да притежава, но, а.

Забележете, че първата дефиниция на степен с частичен индекс е по-лесна за използване от втората. Затова ще го използваме в бъдеще.

степента на положително число a с дробен индекс m / n дефинираме като за отрицателни записи не придаваме никакъв смисъл, степента на числото нула се определя за положителни дробни показатели m / n, тъй като за отрицателни дробни показатели не се определя степента на нула.

В заключение на този параграф обръщаме внимание на факта, че фракционният експонент може да бъде записан под формата на десетична дроб или смесено число, например. За да изчислите стойностите на изразите от този тип, трябва да напишете експонентата под формата на обикновена фракция и след това да използвате дефиницията на градус с дробен показател. За посочените примери имаме и.

Степен с ирационален и валиден индикатор

Известно е, че множеството от реални числа може да се разглежда като обединение на множествата от рационални и ирационални числа. Следователно, една степен с валиден индикатор може да се счита за определена, когато се определя степен с рационален индикатор и степен с ирационален индикатор. Говорихме за степента с рационален индикатор в предходния параграф, остава да се справим със степента с ирационален индикатор.

Понятието за степента на a с ирационален индекс ще се подхожда постепенно.

Позволявам е поредица от десетични приближения на ирационален номер. Например вземете ирационален номер, след което можете да го приемете или т.н. Струва си да се отбележи, че цифрите са рационални.

Последователността на рационалните числа съответства на поредица от степени и можем да изчислим стойностите на тези степени въз основа на рационалния материал, който се издига. Като пример, вземете a = 3, и след това, и след повишаване до сила, ние получаваме.

И накрая, последователността се слива с определено число, което е стойността на силата на a с ирационален показател. Нека се върнем към нашия пример: степен с ирационален индикатор на формата се слива с число, което е равно на 6,27 с точност от една стотна.

Степента на положително число a с ирационален индекс е израз, чиято стойност е равна на границата на последователността, където са последователни десетични апроксимации на ирационалното число.

Степента на числото нула се определя за положителни ирационални показатели, с това. Например. А степента на числото 0 с отрицателен ирационален индикатор не е определена, например, не е дефинирана.

Отделно трябва да се каже за ирационалната степен на единицата - единицата във всяка ирационална степен е равна на 1. Например, и.

Корени и градуси

степен на

Степента е израз на формата :, където:

• - основата на степента;
• - експонентен.

Степен с естествен индикатор

Дефинираме понятието за степен, чийто индекс е естествено число (т.е. цяло число и положително число).

1. По дефиниция :.
2. За да подредите числото, трябва да го умножите поотделно:
3. Да се ​​изгради число в куб означава да се умножи само по себе си три пъти:.

Повишаването на число до естествената степен означава умножаване на числото отново:

Степен с цяло число

Ако показателят е положително цяло число:

, n> 0

Височина до нулева степен:

, a ≠ 0

Ако показателят е отрицателно цяло число:

, a ≠ 0

Забележка: изразът не е дефиниран, в случая n ≤ 0. Ако n> 0, тогава

Степен с рационален индикатор

• a> 0;
• n е естествено число;
• m е цяло число;

Свойства на градусите

корен

Аритметичен квадратен корен

Уравнението има две решения: x = 2 и x = -2. Това са числа, чийто квадрат е 4.

Помислете за уравнението. Да начертаем графика на функцията и да видим, че това уравнение има и две решения, една положителна, а другата отрицателна.

Но в този случай решенията не са цели числа. Освен това те не са рационални. За да запишем тези ирационални решения, въвеждаме специален корен на корен.

Аритметичният квадратен корен е неотрицателно число, чийто квадрат е a ≥ 0. Когато a

Степента и нейните свойства. Определяне по степен

Секции: Математика

Да запознае студентите със свойствата на степените с естествени индикатори и да научи как да се извършват действия със степени.

Темата “Степента и нейните свойства” включва три въпроса:

• Определяне на степента с естествен индикатор.
• Умножение и разделение на властите.
• Повишаване на степента на продукта и степента.

Формулирайте дефиниция на степен с естествен индекс, по-голям от 1. Дайте пример.

Формулирайте определението за степен с индикатора 1. Дайте пример.

Какъв е редът на действията при изчисляване на стойността на израз, съдържащ степен?

Формулирайте основното свойство на една степен. Дайте пример.

Формулирайте правилото за умножение на градуси със същите бази. Дайте пример.

Формулирайте правилото за разделяне на степени със същите бази. Дайте пример.

Формулирайте правило за степента на работа. Дайте пример. Докажете идентичността (ab) n = a n • b n.

Формулирайте правило за степенуване. Дайте пример. Докажете идентичността (a m) n = a m n.

Степента на a с естествен индекс n по-голям от 1 е произведението на n фактори, всеки от които е a. Степента на a с индекс 1 е самата цифра a.

Степента с база a и индекс n се записва както следва: a n. Прочетете “а на силата на п”; “N-та сила на един”.

По дефиниция, степен:

Намирането на степенна стойност се нарича експоненциране.

1. Примери за степенуване:

0 4 = 0 • 0 • 0 • 0 = 0

(-5) 3 = (-5) • (-5) • (-5) = -125

2. Представете си под формата на квадратно число: 25; 0.09;

25 = 5; 0.09 = (0.3) 2;,

3. Представете във формата на куб номера:

27 = 3; 0.001 = (0.1) 3; 8 = 2 3.

4. Намерете стойностите на изразите:

a) 3 • 10 3 = 3 • 10 • 10 • 10 = 3 • 1000 = 3000

б) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

1. Напишете работата като степен:

в) b • b • b • b • b • b • b

d) (-x) • (-x) • (-x) • (-x)

г) (ab) • (ab) • (ab)

2. Представя се под формата на квадратно число:

3. Представете във формата на куб номера:

4. Намерете стойностите на изразите:

За произволно число a и произволни числа m и n:

a m a n = a m + n.

Правило: Когато умножавате градуси със същите бази, базите се оставят непроменени и експонентите се събират заедно.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

1. Присъства като степен:

a) x 5 • x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y • y 6 = y 1 • y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 • b 5 • b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

d) 3 4 • 9 = 3 4 • 3 2 = 3 6

d) 0.01 • 0.1 3 = 0.1 2 • 0.1 3 = 0.1 5

2. Представете като степен и намерете стойността в таблицата:

а) 2 3 • 2 = 2 4 = 16

б) 3 2 • 3 5 = 3 7 = 2187

1. Присъства като степен:

a) x 3 • x 4 e) x 2 • x 3 • x 4

b) a 6 • a 2 g) 3 3 • 9

в) 4 • в) 7 4 • 49

d) a • a 8 i) 16 • 2 7

д) 2 3 • 2 4 k) 0.3 3 • 0.09

2. Представете като степен и намерете стойността в таблицата:

a) 2 2 • 2 3 c) 8 • 2 5

b) 3 4 • 3 2 g) 27 243

За произволно число a 0 и произволни положителни числа m и n, такива, че m> n е вярно:

a m: a n = a m - n

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

по дефиниция частни:

a m: a n = a m - n.

Правило: При разделяне на степени на една и съща база, основата се оставя същата, а степента на делителя се изважда от експонентата.

Дефиниция: Степента на не е равна на нула, с нулева степен, равна на единица:

Номера. Степента на броя.

Добре известен факт е, че сумата от няколко равни компонента може да се намери чрез умножение. Например: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5x6. За такъв израз се казва, че е сума от равни компоненти, превърнати в продукт. И обратно, ако четем това равенство от дясно на ляво, получаваме, че сме разширили сбора от равни условия. По същия начин може да се свие произведението от няколко равни фактора 5x5x5x5x5x5 = 5 6.

Това означава, че вместо да умножават шест идентични фактора от 5x5x5x5x5x5, те пишат 5 6 и казват „пет до шеста степен“.

Изразът 5 6 е силата на номера, където:

5 - основата на степента;

6 - показател.

Действията, при които произведението на равни фактори е сведено до минимум, се наричат ​​степенуване.

Като цяло, степента с базата "а" и индексът "п" се записва като

За да се повиши броят на а до силата на п означава да се намери продуктът на п фактори, всеки от които е а

Ако основата на степента “а” е 1, тогава стойността на степента за всяко естествено n е 1. Например, 1 5 = 1, 1 256 = 1

Ако повишим числото “а” до първа степен, получаваме самото число а: a 1 = a

Ако се издигне някакво число до нулева степен, тогава като резултат от изчисленията ще получим едно. a 0 = 1

Специално разгледайте номера на втората и третата степен. За тях дойде името: втората степен се нарича квадрат на числото, а третата - кубът на този номер.

Всеки брой може да бъде увеличен до положителна, отрицателна или нулева мощност. Не се използват следните правила:

-като се установи степента на положително число, се получава положително число.

-когато изчисляваме нула в естествената степен, получаваме нула.

- при изчисляване на степента на отрицателно число резултатът може да бъде както положително, така и отрицателно число. Зависи от това, дали експонентата е нечетен или нечетен.

Ако решим няколко примера за изчисляване на степента на отрицателните числа, тогава се оказва, че ако изчислим нечетна степен на отрицателно число, резултатът ще бъде число с знак минус. Тъй като при умножаване на нечетния брой отрицателни фактори, получаваме отрицателна стойност.

Ако изчисляваме четна степен за отрицателно число, тогава резултатът ще бъде положително число. Тъй като при умножаване на четен брой отрицателни фактори, получаваме положителна стойност.

Степен на свойства с естествен индикатор.

За да умножим градусите със същите бази, ние не променяме базите и добавяме експонентите на градусите:

например: 7 1.7 · 7 - 0.9 = 7 1.7+ (- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

За да се разделят градусите с едни и същи бази, ние не променяме базата, а изваждаме експонентите:

например: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

При изчисляване на степента на експониране не променяме базата и умножаваме експонентите на градусите.

например: (2 3) 2 = 2 3 · 2 = 2 6

Ако е необходимо да се изчисли ерекцията до степента на продукта, тогава всеки фактор се повишава до тази степен.

например: (2 · 3) 3 = 2 n · 3 m,

Когато правим изчисления за конструирането на една фракция, ние вдигаме числителя и знаменателя на фракцията към тази мощност.

например: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.

Последователността на изчисленията при работа с изрази, съдържащи степен.

При извършване на изчисления, изрази без скоби, но съдържащи градуси, първо се извършва експониране, след това се умножават и делят действия, и едва след това се добавят и изваждат операции.

Ако е необходимо да се изчисли израз, съдържащ скоби, първо, в посочения по-горе ред, правим изчисленията в скоби, а след това останалите действия в същия ред отляво надясно.

Много широко в практическите изчисления за опростяване на изчисленията използвайте готови таблици на градуси.

Обяснете как да намерите силата на число

Спестете време и не виждайте реклами с Knowledge Plus

Спестете време и не виждайте реклами с Knowledge Plus

Отговорът

Отговорът е даден

19kot

Свържете Knowledge Plus, за да получите достъп до всички отговори. Бързо, без реклама и паузи!

Не пропускайте важното - свържете се с Knowledge Plus, за да видите отговора точно сега.

Гледайте видеоклипа, за да получите достъп до отговора

О, не!
Прегледите на отговорите приключиха

Свържете Knowledge Plus, за да получите достъп до всички отговори. Бързо, без реклама и паузи!

Не пропускайте важното - свържете се с Knowledge Plus, за да видите отговора точно сега.

Гледайте видеоклипа, за да получите достъп до отговора

О, не!
Прегледите на отговорите приключиха

• Коментари
• Маркиране на нарушение

Отговорът

Отговорът е даден

Nadirka212

Най-разумното нещо е да се разгради число в основни фактори, след което можете да намерите както базата, така и експонентата.
Ако базата е известна, тогава индикаторът може да бъде намерен чрез логаритмизация, например,
2 ^ x = 8
За да намерите x, трябва да преброите двете части на основата 2
x = влезте в база 2 от 8 = ln 8 / ln 2 (това може да се изчисли на калкулатора) = 3
Ако индикаторът е известен, базата се намира чрез извличане на корена, например,
x ^ 3 = 8
извлечете кубичния корен от двете части
x = кубичен корен от 8 = 2

Ако нито един от тях не знае нито едното, нито другото, декомпозира число в основни коефициенти, това се прави чрез последователно разделяне на числото на основни коефициенти
614656/2 = 307328
307328/2 = 153664
153664/2 = 76832
76832/2 = 38416
38416/2 = 19208
19208/2 = 9604
9604/2 = 4802
4802/2 = 2401
2401 не се дели на 2, на 3, на 5 (последователно се повтаря над прости числа)
2407/7 = 343
343/7 = 49
49/7 = 7
7/7 = 1
Общо ние се разделихме на 2 по осем пъти и 7 на четири пъти, следователно
614656 = 2 ^ 8 * 7 ^ 4
Ако искаме да намерим представяне във вид a ^ b с естествени a и b и b трябва да бъде максимално, тогава като b трябва да вземем GCD на степените, получени при разлагането на прости фактори, т.е. в този случай b = GCD (8.4) = 4
основата на степен а ще бъде 2 ^ (8 / b) * 7 ^ (4 / b) = 2 ^ 2 * 7 ^ 1 = 4 * 7 = 28

Степента и нейните свойства. Началното ниво.

Степента е израз на формата :, където:

Степен с цяло число

степента на която е естествено число (т.е. цяло число и положително).

Степен с рационален индикатор

степента на която е отрицателно и дробно число.

Степен с ирационален показател

степен, чийто експонент е безкрайна десетична дроб или корен.

Свойства на градусите

Характеристики на градусите.

• Отрицателно число, увеличено до равна мощност е положително число.
• Отрицателно число, повдигнато до нечетна мощност, е отрицателно число.
• Положително число за всяка степен е положително число.
• Нула е равна на всяка степен.
• Всяко число е нула степен.

Каква е силата на числото?

Експонирането е същата математическа операция като събиране, изваждане, умножение или деление.

Сега ще обясня всичко на човешки език с много прости примери. Бъдете внимателни. Примерите са елементарни, но обясняват важни неща.

Да започнем с добавянето.

Тук няма какво да обясним. Вие вече знаете всичко: нас са осем. Всяка от тях има две бутилки кола. Колко е кола? Точно така - 16 бутилки.

Сега умножете.

Същият пример с Coke може да бъде написан по различен начин. Математиците са хитри и мързеливи хора. Първо забелязват някои модели и след това измислят начин да ги "преброят бързо". В нашия случай те забелязали, че всеки от осемте души имал същия брой бутилки кола и измислил устройство, наречено умножение. Признайте, че се счита за по-лесно и по-бързо от.

Ето таблицата за умножение. Повторете.
Така че, за да разчитате по-бързо, по-лесно и без грешки, просто трябва да запомните таблицата за умножение. Разбира се, можете да правите всичко по-бавно, по-трудно и с грешки! Но...

Ето таблицата за умножение. Повторете.

И друго, по-красиво:

Какви други хитри трикове на сметката са измислени от мързеливи математици? Правилно - въвеждането на броя в степента.

Вдигане на номер до мощност.

Ако трябва да умножите числото само по себе си пет пъти, тогава математиците казват, че трябва да построите този номер до пета степен. Например. Математиците помнят, че две до пета степен е това. И решаване на такива пъзели в ума - по-бързо, по-лесно и без грешки.

За да направите това, просто запомнете какво е маркирано в цвят в таблицата на степените на числата. Повярвайте ми, това ще направи живота ви много по-лесен.

Между другото, защо втората степен се нарича квадрат на число, а третата - куб? Какво означава това? Много добър въпрос. Сега ще имате квадратчета и кубчета.

Пример от живота на №1.

Да започнем с квадрат или номер на втора степен.

Представете си квадратен басейн, измерващ метра по метри. Басейнът е във вашата вила. Топлина и наистина искам да плувам. Но... басейн без дъно! Необходимо е да се постави дъното на керемидите на басейна. Колко плочки имате нужда? За да определите това, трябва да знаете областта на дъното на басейна.

Можете просто да преброите, напъхайки пръста си, че дъното на басейна се състои от кубчета метър на метър. Ако имате метър за плочки по метър, ще ви трябват парчета. Лесно е... Но къде видяхте такава плочка? Плочката ще е по-вероятно да види см. И тогава ще бъдете измъчвани от „пръста”. След това трябва да се размножавате. Така че, от едната страна на дъното на басейна, ние ще поставим плочки (парчета), а от друга, и плочки. Умножавайки по, получавате плочки ().

Забелязали ли сте, че за да определите площта на дъното на басейна, ние умножаваме същия номер сам по себе си? Какво означава това? След като един и същ номер се умножи, можем да използваме техниката “експониране”. (Разбира се, когато имате само две числа, вие все още ги умножавате или увеличавате до мощност. Но ако имате много от тях, тогава повишаването им до мощност е много по-просто и изчислителните грешки също са по-малко. За Унифицирания държавен изпит това е много важно).
Така, тридесет до втора степен ще бъде (). Или може да се каже, че тридесет на квадрат ще бъде. С други думи, втората степен на числото винаги може да бъде представена като квадрат. Обратно, ако видите квадрат, то ВИНАГИ е втората сила на определен номер. Квадратът е изображение на число от втора степен.

Пример от живота на №2.

Ето една задача за вас, изчислете колко квадратчета на шахматната дъска с помощта на квадрат от число. От едната страна на клетките и от другата страна. За да изчислите техния брой, ще ви трябват осем пъти осем или... ако забележите, че шахматната дъска е квадрат със страна, тогава можете да построите осем квадрата. Вземи клетка. () И така?

Пример от живота на номер 3.

Сега кубът или третата сила на числото. Същият басейн. Но сега трябва да знаете колко вода трябва да излеете в този басейн. Трябва да изчислите силата на звука. (Между другото обемите и течностите се измерват в кубични метри. Неочаквано, нали?) Начертайте басейн: дъното е с един метър и един метър дълбоко и се опитват да изчислят колко кубчета в метър до метър ще отидат във вашия басейн.

Просто посочете с пръст и пребройте! Едно, две, три, четири... двадесет и две, двадесет и три... Колко се е случило? Не излезе Трудно ли е да се брои с пръст? Това е! Да вземем примера на математиците. Те са мързеливи, затова са забелязали, че за да се изчисли обемът на басейна, е необходимо да се умножат един друг дължината, ширината и височината. В нашия случай обемът на басейна ще бъде равен на кубовете... По-лесно ли е, нали?

А сега си представете как математиците са мързеливи и хитри, ако и те опростят. Донесе всичко до едно действие. Те забелязаха, че дължината, ширината и височината са равни и че същият брой се умножава сам по себе си... И какво означава това? Това означава, че можете да използвате степента. Така че това, което веднъж сте броили като пръст, те правят в едно действие: три в куб са равни. Написано е по следния начин:

Остава само да запомните таблицата на градусите. Ако, разбира се, сте мързеливи и хитри като математиците. Ако искате да работите усилено и да правите грешки, можете да продължите да броите с пръст.

Е, най-накрая, за да ви убедя, че степените са измислени от подателите и измамниците за решаване на техните житейски проблеми, а не за да създадат проблеми за вас, ето още няколко примера от живота.

Пример от живота на №4.

Имате един милион рубли. В началото на всяка година печелите на всеки милион друг милион. Това означава, че всеки ваш милион в началото на всяка година се удвоява. Колко пари ще имате през годините? Ако седите и „преброявате пръст”, тогава сте много трудолюбив човек и... глупав. Но най-вероятно ще дадеш отговор след няколко секунди, защото си умен! Така че, през първата година - два пъти по две... през втората година - какво се е случило, с още две, през третата година... Спри! Забелязал си, че номерът се умножава сам по себе си. Така че, две до пета степен - един милион! Сега си представете, че имате конкуренция и тези, които получават милиона, ще бъдат по-бързи за изчисляване... Струва си да си припомним степените на числата, как мислите?

Пример от номера на живота 5.

Имате един милион. В началото на всяка година печелите на всеки два милиона. Уау, наистина? Всеки милион тройки. Колко пари ще имате за една година? Нека броим. Първата година е да се размножават, след това резултатът е все още от... Това вече е скучно, защото вече сте разбрали всичко: три пъти се умножава от само себе си. Така че в четвъртата степен е равна на един милион. Просто трябва да помните, че три до четвърта степен е или.

Сега знаете, че с помощта на повишаване на броя на силите ще улесните живота си. Нека погледнем още по-подробно какво можете да правите със степените и какво трябва да знаете за тях.

Термини и понятия.

Така че нека започнем с определяне на понятия. Какво мислите за експонента? Много е просто - това е числото, което е “на върха” на силата на числото. Не е научен, но разбираем и лесен за запомняне...

И в същото време, каква е основата на степента? Още по-просто е числото на дъното, най-отдолу.

Ето картина за вашата лоялност.

Ами, като цяло, за да обобщим и по-добре помнете... Степента с база " и индикаторът " се четат като "до степента" и се пише по следния начин:

Освен това, защо казват "степента на цифрите с естествен индикатор"?

"Степента на цифрите с естествен индикатор"

Вероятно вече сте се досетили: защото експонентата е естествено число. Да, но какво е естественото число? Елементарно! Естествените числа са тези, които се използват в сметката при изброяване на обекти: едно, две, три... Когато преброяваме позиции, не казваме: „минус пет“, „минус шест“, „минус седем“. Ние също не казваме: „една трета”, или „нулева точка, пет десети”. Това не са естествени числа. И какви са тези цифри, както си мислите?

Цифрите като "минус пет", "минус шест", "минус седем" се отнасят до цяло число. Като цяло целочислените числа включват всички естествени числа, числа, противоположни на естествените числа (т.е. взети със знак минус), и число. Нула е лесно да се разбере - това е, когато няма нищо. А какво означават отрицателните ("отрицателни") числа? Но те са измислени преди всичко да се определят дългове: ако имате баланс по телефона в рубли, това означава, че дължите на оператора рубли.

Фракции от всякакъв вид са рационални числа. Как станаха те, какво мислите? Много просто. Преди хиляди години нашите предци откриха, че им липсват естествени числа за измерване на дължина, тегло, площ и т.н. И те измислиха рационални числа... Интересно, нали?

Все още има ирационални числа. Какви са тези числа? Накратко, безкрайна десетична. Например, ако обиколката е разделена на своя диаметър, тогава се получава ирационално число.

Обобщаване:

• Естествените числа са номерата, използвани при преброяването, т.е.
• Integer - всички естествени числа, естествени числа с минус и число 0.
• Дробните числа се считат за рационални.
• Ирационалните числа са безкрайни десетични знаци

Степен с естествен индикатор

Нека дефинираме понятието за степен, чийто индекс е естествено число (т.е. цяло и положително).

1. Всяко число в първата степен е равно на себе си:
2. За да подредите числото, трябва да го умножите поотделно:
3. Да се ​​изгради число в куб означава да се умножи само по себе си три пъти:

Определение. Повишаването на число до естествената степен означава умножаване на числото отново:
.

Степен на число: определения, обозначения, примери

В рамките на този материал анализираме степента на числото. В допълнение към основните дефиниции, ние формулираме какво е степен с естествени, цялостни, рационални и ирационални показатели. Както винаги, всички понятия ще бъдат илюстрирани с примери за задачи.

Степени с естествени експонати: концепция за квадрат и куб от число

Първо, формулираме основно определение на степен с естествен индекс. За това трябва да си припомним основните правила за умножение. Нека предварително да изясним, че като основа ние за момента ще вземем реално число (означено с буквата а), а като индикатор - естествено число (обозначено с буквата n).

Степента на a с естествен индекс n е произведението на n-тия брой фактори, всеки от които е равен на броя a. Степента е написана по следния начин: a n, и под формата на формула, нейният състав може да бъде представен, както следва:

Например, ако показателят е 1 и базата е a, тогава първата сила на a се записва като 1. Като се има предвид, че а е стойността на множител, а 1 е броят на множителите, можем да заключим, че a 1 = a.

Като цяло може да се каже, че степента е удобна форма за записване на голям брой равни фактори. По този начин, типът на записа 8,88,8 може да бъде намален до 8 4. Приблизително една и съща работа ни помага да избегнем писането на голям брой термини (8 + 8 + 8 + 8 = 8,4); Вече анализирахме това в статията, посветена на умножаването на естествените числа.

Как да четем записа на степента? Общоприетата опция е „а към силата на н”. Или може да се каже "n-та степен a" или "n-та степен." Ако, да речем, в примера, в който сме срещнали записа 8 12, можем да четем „8 до 12-та степен“, „8 до степен 12“ или „12-та степен до 8-та“.

Второто и третото число имат своите утвърдени имена: квадрат и куб. Ако видим втора степен, например числото 7 (7 2), тогава можем да кажем "7 квадрат" или "квадрат на числото 7". По същия начин третата степен гласи така: 5 3 е "куб от числото 5" или "5 в куба". Възможно е обаче да се използва стандартната формулировка „във втора / трета степен“, но това няма да бъде грешка.

Нека разгледаме един пример за степен с естествен индикатор: за 5 7, петте ще бъдат база, а седем - индикатор.

Базата не трябва да е цяло число: за степен (4, 32) 9, базата ще бъде част от 4, 32, а индикаторът ще бъде девет. Обърнете внимание на скобите: такъв запис се прави за всички градуси, чиито основи са различни от естествените числа.

Например: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 4, 35 35, 7 3.

За какво са скобите? Те помагат да се избегнат грешки в изчисленията. Да кажем, че имаме две записи: (- 2) 3 и - 2 3. Първото от тях означава отрицателно число минус две, повишено до сила с естествен индекс от три; второто е числото, съответстващо на обратната стойност на степен 2 3.

Понякога в книгите може да се срещне малко по-различно изписване на силата на числото - a ^ n (където а е базата, а n е индикаторът). Това означава, че 4 ^ 9 е същото като 4 9. Ако n е многозначно число, то се взема в скоби. Например, 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Но ще използваме нотацията като по-често срещана.

Как да се изчисли стойността на градус с естествен индекс е лесно да се отгатне от неговата дефиниция: просто трябва да се умножи един и същ брой пъти. Повече за това написахме в друга статия.

Концепцията за степен е обратното на друго математическо понятие - коренът на числото. Ако знаем стойността на степента и степента, можем да изчислим нейната база. Степента има някои специфични свойства, които са полезни за решаване на проблеми, които сме разглобили в отделен материал.

Какво е степента с цял индикатор

По отношение на градусите може да има не само естествени числа, но като цяло всички целочислени стойности, включително отрицателни и нули, защото те също принадлежат към множеството от числа.

Степента на число с положително цяло число може да се покаже като формула :.

Освен това, n е положително цяло число.

Ще разберем концепцията за нулева степен. За да направим това, използваме подход, който взема предвид собствеността на конкретното за силите с еднакви бази. Той е формулиран по следния начин:

Равенството a m: a n = a m - n е вярно при условията: m и n са естествени числа, m n, a ≠ 0.

Последното условие е важно, защото избягва делението на нула. Ако стойностите на m и n са равни, тогава получаваме следния резултат: a n: a n = a n - n = a 0

Но в същото време a n: a n = 1 е коефициентът на равни числа a n и a. Оказва се, че нулевата мощност на всяко ненулево число е едно.

Това доказателство обаче не се прилага за нула до нула. За това се нуждаем от друго свойство на градусите - свойство на продукти от степени с равни бази. Това изглежда така: a m · a n = a m + n.

Ако n е 0, тогава a m · a 0 = a m (това равенство също ни доказва, че 0 = 1). Но ако и също е нула, нашето равенство приема формата 0 m · 0 0 = 0 m, то ще бъде вярно за всяка естествена стойност на n и няма значение каква е стойността на степента 0, т.е. тя може да бъде равна на всяко число и това няма да повлияе на лоялността на равенството. Следователно записът на формата 0 0 няма своето специално значение и ние няма да го приписваме на него.

Ако е желателно, лесно е да се провери, че a 0 = 1 се слива с свойството на степен (a m) n = a m · n, при условие че основата на степента е ненулева. По този начин, степента на всяко ненулево число с нулева степенувател е едно.

Нека разгледаме един пример с конкретни числа: Така че, 5 0 е единица, (33, 3) 0 = 1, - 4 5 9 0 = 1, а стойността 0 0 не е дефинирана.

След нулевата степен оставаме да разберем каква е степента отрицателна. За това се нуждаем от същото свойство на произведението на градуси с равни бази, които вече сме използвали по-горе: a m · a n = a m + n.

Въвеждаме условието: m = - n, тогава a не трябва да е нула. От това следва, че a - n · a n = a - n + n = a 0 = 1. Оказва се, че a n и a - n са взаимно обратни числа.

В резултат на това а в цялата отрицателна степен е нищо друго освен фракция 1 a n.

Такава формулировка потвърждава, че за степен с цял отрицателен индекс са валидни същите свойства като степен с естествен индекс (при условие че базата не е нула).

Степента на a с отрицателно цяло число n може да бъде представена като фракция 1 a n. По този начин, a - n = 1 a n при условие a and 0 и n е всяко положително цяло число.

Илюстрираме мисълта си с конкретни примери:

3 - 2 = 1 3 2, (- 4. 2) - 5 = 1 (- 4. 2) 5, 11 37 - 1 = 1 11 37 1

В последната част на параграфа ще се опитаме да изобразим всичко, което е казано ясно в една формула:

Степента на a с естествен индекс z е: az = az, e с l и z е цяло число на a l, а z е 0 и z = 0 и a, 0, (p p p и z = 0 и a = 0 p o o u c e s i 0 0, което означава, че a 0 0 n e Пътувания и) 1 az, c и z е а е т е р е ц и и и н а б о н и е 0 ( e sl и z - е цялото число на серията и a = 0 безкрайно с i 0 z, ego about И н т е н и я п и и я)

Какво е рационален показател?

Разгледахме случаите, в които в експонентата се намира цяло число. Възможно е обаче да се повиши числото на мощност, дори когато дробното число е в неговия индекс. Това се нарича рационален показател. В този момент ние доказваме, че той има същите свойства като другите степени.

Какви са рационалните числа? Техният набор включва както цели, така и дробни числа, докато дробните числа могат да бъдат представени като обикновени фракции (положителни и отрицателни). Формулираме дефиницията на степента на a с дробна степен m / n, където п е положително цяло число, а m е цяло число.

Ние имаме известна степен с дробен показател a m n. За да се задържи свойството на степен до степен, равенството a m n n = a m n · n = a m трябва да е вярно.

Като се има предвид дефиницията на корена на n-тата степен и че a m n n = a m, можем да приемем условието a m n = a m n, ако a m n има смисъл при дадени стойности на m, n и a.

Горните свойства на степента с цяло число ще бъдат верни при условие a m n = a m n.

Основният извод от нашето разсъждение е следният: степента на определено число а с дробен показател m / n е коренът на n-та степен от число a до степен m. Това е вярно, ако за дадени стойности на m, n и a, изразът a m n запазва своето значение.

След това трябва да определим какъв вид ограничения на стойностите на променливите налага такова условие. Има два подхода за решаване на този проблем.

1. Можем да ограничим стойността на основата на степента: приемаме a, която за положителни стойности на m ще бъде по-голяма или равна на 0, а за отрицателни стойности строго по-малка (тъй като при m ≤ 0 получаваме 0 m, а тази степен не е определена). В този случай определянето на степента с частичен индекс ще бъде както следва:

Степен с фракционен показател m / n за някакво положително число a е n-тия корен на повдигната до m. Под формата на формула това може да бъде представено като:

За степен с нулева база тази позиция е подходяща, но само ако нейният индекс е положително число.

Степен с нулева база и дробно положително m / n може да се изрази като

0 m n = 0 m n = 0 при условие на цяло положително m и естествено n.

При отрицателно съотношение m n 0, степента не се определя, т.е. такъв запис няма смисъл.

Обърнете внимание на една точка. Тъй като сме въвели условието a да е по-голямо или равно на нула, ние сме изпуснали някои случаи.

Изразът a m n понякога все още има смисъл за някои отрицателни стойности на a и някои m. Така че вписванията (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 са верни, в които основата е отрицателна.

2. Вторият подход е да разгледаме отделно корен a m n с четни и нечетни индекси. Тогава ще трябва да въведем още едно условие: степен а, в индекса на която е намалена намалената фракция, се счита за степента на а, в индекса на която съответстващата й несъразмерна част. По-късно ще обясним защо това условие е за нас и защо е толкова важно. Следователно, ако имаме запис a m · k n · k, тогава можем да го намалим до m n и да опростим изчисленията.

Ако n е нечетно число, а m е положително, a е всяко неотрицателно число, тогава a m n има смисъл. Необходимо е условието за неотрицателно а, тъй като коренът на еднаква сила не се извлича от отрицателно число. Ако стойността на m е положителна, тогава a може да бъде и отрицателна, и нулева, тъй като Коренът на нечетната степен може да бъде извлечен от всяко реално число.

Комбинирайте всички данни по-горе в дефинициите в един запис:

Тук m / n означава неприводима част, m е всяко число, а n е всяко положително цяло число.

За всяка обикновена намалена част m · k n · k, степента може да бъде заменена с m n.

Степента на числото a с неприводим индексивен индекс m / n може да бъде изразена като mn в следните случаи: - за всяко реално a, положително цяло число от m и странни естествени стойности на n. Пример: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

- за всички ненулеви реални a, цяло число отрицателни стойности на m и нечетни стойности на n, например 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

- за всяко неотрицателно a, цяло число положителни стойности на m и дори n, например 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

- за всяко положително a, цяло число отрицателно m и дори n, например 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3,.

В случай на други стойности, степента с фракционен показател не е дефинирана. Примери за такива степени: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Сега нека обясним важността на споменатото по-горе условие: защо да заменим една фракция с намален индекс с фракция с неприводима част. Ако не направим това, тогава ще имаме такива ситуации, например 6/10 = 3/5. Тогава трябва да е вярно (- 1) 6 10 = - 1 3 5, но - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1, и (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1.

Определянето на степента с частичен индекс, който цитирахме първо, е по-удобно да се приложи на практика от втория, затова ще го използваме по-нататък.

По този начин, степента на положително число а с фракционен индекс m / n се определя като 0 m n = 0 m n = 0. В случай на отрицателен а, вписването a m n няма смисъл. Степента на нула за положителни дробни показатели m / n се определя като 0 m n = 0 m n = 0, а за отрицателни дробни показатели не се дефинира степента на нула.

В заключенията ще отбележим, че можем да запишем всеки дробен индекс както под формата на смесено число, така и под формата на десетична дроб: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Когато се изчислява, е по-добре експонентите да се заменят с обикновена фракция и след това да се използва дефиницията на експонентата с фракционен показател. За горните примери получаваме:

5 1, 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Какво е степен с ирационален и валиден индикатор

Какви са реалните числа? Техният набор включва както рационални, така и ирационални числа. Следователно, за да разберем каква степен е с валиден индикатор, трябва да дефинираме степени с рационални и ирационални показатели. За рационално, ние вече споменахме по-горе. Ще се занимаваме с ирационални показатели стъпка по стъпка.

Да предположим, че имаме ирационално число а и поредица от нейните десетични приближения a 0, a 1, a 2,.,,, Например, вземете стойността a = 1, 67175331.,, след това

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671,.,,, a 0 = 1, 67, a 1 = 1, 6717, a2 = 1, 671753,.,,

и така нататък (като самите приближения са рационални числа).

Последователностите на приближенията могат да свържат поредица от степени a a 0, a a 1, a a 2,.,,, Ако си припомним, че по-рано казахме за повишаване на числата до рационална степен, тогава можем сами да изчислим стойностите на тези степени.

Вземете например a = 3, след това a a = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753,.,, и така нататък

Последователността на градусите може да бъде редуцирана до число, което ще бъде стойността на степен c с база a и ирационален индекс a. В обобщение: степен с ирационален индекс на формата 3 1, 67175331., може да се намали до 6, 27.

Степента на положително число а с ирационална степен a се записва като a. Неговата стойност е границата на последователността a a 0, a a 1, a a 2,.,, където 0, 1, 2.,, са последователни десетични приближения на ирационалното число a. За положителни ирационални показатели може да се дефинира и нулева базова степен, с 0 a = 0 По този начин, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. А за негативните това не може да се направи, защото например стойността 0 - 5, 0 - 2 π не е дефинирана. Единица, повдигната до каквато и да е ирационална степен, остава единица, например, и 1 2, 1 5 до 2, и 1-5 ще бъдат равни на 1.